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By J. L. Dupont, I. H. Madsen

College of Aarhus, 50. Anniversary, eleven September 1978

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3 geleistet wurde. 10 Korollar (Zwischenwerlsatz). f : X - t IFl sei eine stetige Abbildung des topologischen Raumes X in IFl und a, bE f(X) mit a < b. h. f nimmt jeden Wert zwischen a und ban. 3 ist f(X) ein Interval!. 0 Nachdem der Begriff des Zusammenhangs zur Verfiigung steht, ist es naheliegend, einen topologischen Raum in zusammenhangende Teilmengen zu zerlegen und die einzelnen zusammenhangenden Komponenten getrennt zu untersuchen. Die Anzahl cler zusammenhangenclen Komponenten kann man als Ma13zahl fiir den Zusammenhang des Raumes betrachten.

Beweisen Sie, daB IRn /7r homoomorph zu (Sl)n ist. 3. Beweisen Sie: (i) Jede Norm auf IR n ist stetig. (ii) Sind II lit und I 112 Normen auf IR n , so existieren positive reelle Zahlen a, f3 mit der Eigenschaft, daB fiir alle x E V gilt: (iii) Auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum V definieren alle Normen die gleiche Topologie. 4. Auf dem Vektorraum IR n ,n der reellen n x n-Matrizen sei durch eine beliebige Norm eine Topologie definiert. Diese ist nach Aufgabe 3 von der gewahlten Norm unabhangig.

Von einem zufriedenstellenden Zusammenhangsbegriff wird man erwarten, dafi jeder Raum mit der indiskreten Topologie zusammenhangend ist, ein diskreter Raum, der ja aus diskreten Punkten ohne jede Beziehung zueinander besteht, extrem unzusammenhangend ist, wenn er mehr als einen Punkt enthiilt. Ais zusammenhangende Teilmengen von Dl, die mehr als einen Punkt enthalten, erwartet man die Intervalle. Ein Raum heiJ3t wegweise zusammenhangend, wenn sieh je zwei Punkte dureh einen Weg, das ist eine stetige Abbildung des Einheitsintervalls, miteinander verbinden lassen.

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